2021年 慶應商学部 数学】 相加平均・相乗平均の意味を復習！
今回は2021年の慶応大学商学部の数学大問１の解説をしました。
問題としては、下のような内容ですね！相加平均の意味と相乗平均の意味がしっかり理解出来ていないと解けない問題なので、復習にはピッタリだと思います。
問題
xとyの相加平均が5で、 log₄xとlog₄yの相加平均が1のとき、x,yを求めよ。 (x<y)
下の動画ではより詳しく解説しているので参考にしてみてください！
相加平均とは？相乗平均とは？
まずこの問題を解くためには相加平均と相乗平均の意味をしっかり理解出来ていないと解けないですが、理解できてますでしょうか？そのあたりから復習していきましょう！
相加平均：読んで時の如く、足して平均を取る形です。たとえばx,yの相加平均は(x+y)/2となります。
相乗平均：お互いをかけてルートを取る形です。xとyの相乗平均は√xyとなります！xとyとzの相乗平均は3乗根を使う形で∛xyzとなります。
これを抑えた上で慶應の商学部の問題を解いて行きましょう！
問題解説
今回の問題はまずxとyの相加平均が5と書いてあるので、x,yの相加平均を取ると①のようになります。
(x＋y)/2=5 ・・・①
変形するとx＋y＝10・・・②
次にlog₄xとlog₄yの相加平均が1なので定義通り式を立ててやると、
(log₄x+log₄y)/2=1・・・③となります。
③を変形してやると、log₄x+log₄y=2となり、対数の足し算は底が同じ場合は掛け算の形に変形できるので、
log₄xy=2・・・④
④を計算すると、log₄xy=2log₄4=log₄4²
xy=4²=16となります。・・・⑤
②と⑤から解と係数の関係より、x,yはt²-10t+16=0の解となります。
因数分解すると、(t-8)(t-2)=0
t=2,8
条件よりx<yなので、x=2,y=8となります。
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