【数学入試問題解説シリーズ】東北大学2021年文系/理系二次関数と領域

今回の問題は難関大志望の方は必ず解けてほしい基礎レベルの問題にはなりますが、二次関数の大切な考え方や領域の考え方などしっかり身につく良問です。二次関数の解の配置の問題は共通テスト、二次試験で毎年必ず出る問題なのでしっかり抑えましょう！下の動画でも詳しく解説しています！

a,bを実数とする。y＝ax²＋bx＋1がx軸の正の部分と共有点を持たないような点(a,b)の領域を図示せよ。(2021年東北大学入試問題)

考え方のポイントとしては以下の2点があります。

① 解答のゴールイメージがしっかり持てること。
② 解の配置を適切に処理ができること。

まず①のゴールイメージがしっかりできるというところでは、(a,b)の領域を図示せよという部分をどうやって書けばよいかですが、ここで縦軸と横軸をb,aとしたグラフ上に領域を図示できるかというところですね。領域と言われると何も考えずxy平面を作ってしまう人を何人か見ましたがその時点で0点です。

次に②ですが、解の配置の問題をしっかり処理できるかというところですね。解の配置というと考えることは、以下の3つです。

1.判別式 →これで解の個数を決めます

2.軸の正負

3.範囲の端でのy座標の値→今回だとf(0)の値ですね

そのあたりを考えて今回の問題だと、aの値で場合分けして考えていきます。

まずaの値でグラフの形が変わるので、3通りに場合分けします。

1.a＝0のとき直線になります。y＝bx＋1となり切片が1なので傾きが0以上であればx軸正の部分と直線が解を持つことはありません。なので、b≧0となります。

2.a>0のときは下に凸のグラフなので判別式D>0または頂点>0で求めましょう！

3.a<0のときはグラフを書いてもらうとわかりますが、必ずx軸正の部分と解を持ってしまいますね。

上記3点のポイントで解まで導くことはできます！わからないひとは動画で確認してみてください！

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