チェバの定理の証明について解説します。
チェバの定理の証明を解説
今回の問題は、次の考え方で解きます。
面積比を用いて証明をする
まずは、上の三角形から次の三角形を抜き出します。
直線AEを延長して、点Bと点Cから垂線を引きます。
（点Bからの垂線とAEが交わる点をH、点Cからの垂線とAEが交わる点をIとする）
そのときにできる△BEHと△CEIは相似の関係となります。
△BEHと△CEIの相似の比をa:bとすると、AGBの面積：AGCの面積＝a：b
当然BE：ECの比もa：bとなるので
AGBの面積：AGCの面積＝BE:EC
のように、面積の比を辺の比で表すことができるのです。
この考えを使って、下図の青・赤・黒の三角形の面積の比を辺で表し、チェバの定理を証明します。
赤の三角形（△BGC）と青の三角形（△AGB）の比は、次のように表せる。
△BGC:△AGB=CF:FA
→△AGB/△BGC=FA/CF …①
黒の三角形（△AGC）と赤の三角形（△BGC）の比は、次のように表せる。
△AGC:△BGC＝AD:DB
→△BGC/△AGC=DB/AD …②
青の三角形（△AGB）と黒の三角形（△AGC）の比は、次のように表せる。
△AGB:△AGC=BE:EC
→△AGC/△AGB=EC/BE …③
①②③をかけるとそれぞれが打ち消し合い、1になります。
DB/AD ✕ EC/BE ✕ FA/CF=△BGC/△AGC ✕ △AGC/△AGB ✕ △AGB/△BGC =1
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