みなさんは1/6公式の証明ができますか？
問題
∫αβ(x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)3を証明せよ。
今回は最も簡単な方法で1/6公式の証明について解説していきます。
詳しくはこちらの動画(約2分間)で紹介しています。
1/6公式の証明方法｜共通テスト「微分・積分」で必須
1/6公式の証明方法には、次の3つがあります。
証明方法
①(x-α)(x-β)を(x-α)2+(α-β)(x-α)と変形する方法
②(x-α)(x-β)をx2+(α+β)x+αβとして、積分する方法
③部分積分で計算する方法
②(x-α)(x-β)をx2+(α+β)x+αβとして、積分する方法
③部分積分で計算する方法
今回は、数学IIBまでの内容でできる①での方法を解説します。
証明の計算式を記述するので、詳しい説明を見たい方は解説動画で確認してくださいね。
まずは式を変形していきます。
(x-α)n(x-β)=(x-α)n+1+(α-β)(x-α)n
＝(x-α)(x-α)n+α(x-α)n-β(x-α)n
=(x-α)n(x-β)
(x-α)(x-β)=(x-α)2+(α-β)(x-α)
ここからは、積分を計算していきます。
∫αβ(x-α)2+(α-β)(x-α)dx
=［1/3(x-α)3+1/2(α-β)(x-α)2］αβ
=1/3(β-α)3-1/2(β-α)3
=-1/6(β-α)3
以上で証明完了です。
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