今回は2019年の早稲田大学、政治経済学部の大問5を解説しました。
(1)α、βが異なる実数で、αβ≦0となる確率を求めよ。
(2)α、βが異なる実数で、αβ＞0となる確率を求めよ。
(3)α、βが虚数となる確率を求めよ。
確率と２次方程式の複合問題なので一見難しそうに見えますが、比較的単純なことが問われているので、落ち着いて考えれば解けます。
こちらの解説動画で解き方を紹介しています。
【2019早稲田数学過去問】政治経済学部の大問5の解説
(1)(2)(3)それぞれの解き方のポイントを紹介します。
(1)解と係数を考えて解く
(1)の問題のポイントは次のようになります。
①解と係数を考えて解く
α＋β=-b/a
αβ=c/a
「２次方程式・解が2つ・α＋β、αβ」という形を見たら、解と係数を考えましょう。
解と係数
α＋β=-b/a
αβ=c/a
αβ≦0という条件なので、c/a≦0がどんなときに起こるかを考えればよい。
今回は「さいころの目」なので、a,b,cの範囲は以下の3つ。
1≦a≦6
1≦b≦6
1≦c≦6
なので、c/aがマイナスになることはありません。
よって、確率は0になります。
答え 0
(2)判別式を用いて求める
(2)の問題のポイントは次のようになります。
問題の2つの条件、「①αβが異なる実数」「②αβ＞0」について考える。
②の条件については、(1)の問題の答えから導き出す。
①の条件については、判別式を用いて求める。
詳しい解き方は、解説動画1:48〜で解説しています。
答え 19/108
(3)(2)＋重解の実数＋虚数＝１から考える
(3)の問題は、α、βが虚数なので、D＞0。
b-4ac＜0
にして、(2)と同じように解いても良いのですが、時間短縮のため次のポイントを意識して解くことをおすすめします。
αとβの数のパターンは
- 異なる実数
- 重解の実数
- 虚数
の3つしかないので、「異なる実数」＋「重解の実数」＋「虚数」＝1が成り立ちます。
異なる実数は、(2)で求めた19/108
重解の実数はD=0
虚数はD＜0
なので、重解の実数or虚数のどちらかを求めれば、答えにたどり着きます。
続きは動画（6:05〜）で詳しく解説しています。
答え 173/216
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